(CESGRANRIO) - QUESTÃO

Considere que sen β = 0,8 e cos θ = 0,5, com θ, β ∈ [0, π/2]. Considerando-se 1,7 como aproximação para √3, o valor mais próximo do valor da expressão sen2β/sen2θ é igual a:

Ⓐ 0,60

Ⓑ 0,85

Ⓒ 0,97

Ⓓ 1,13

Ⓔ 1,32

Resolvendo temos:

• $\sin \beta = 0{,}8$
  

• $\cos \theta = 0{,}5$
  

• $\theta, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$
  

• $\sqrt{3} \approx 1{,}7$

Queremos calcular:

$$\frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \theta}$$

1) Calcular $\sin^2 \beta$

Sabemos que:

$$\sin \beta = 0{,}8 \Rightarrow \sin^2 \beta = (0{,}8)^2 = 0{,}64$$

2) Achar $\sin^2 \theta$ a partir de $\cos \theta$

Sabemos que:

$$\cos \theta = 0{,}5 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$$

No intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$, temos:

$$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75$$

3) Substituir na expressão

$$\frac{\sin^2 \beta}{\sin^2 \theta} = \frac{0{,}64}{0{,}75}$$

Vamos calcular:

$$\frac{\mathrm{0,64}}{\mathrm{0,75}}=\frac{64}{75}\approx \mathrm{0,853}$$