(FEPESE) - QUESTÃO

A soma das coordenadas do centro da elipse de equação x² − 4x + y² + 6y + 12 = 0 é:

Ⓐ –2

Ⓑ –1

Ⓒ 0

Ⓓ 1

Ⓔ 2

A equação da elipse dada é:

$$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 12 = 0$$

O objetivo é encontrar o centro da elipse, que é dado por $(h, k)$. Para isso, usamos completamento de quadrado em $x$ e $y$.

1) Agrupar termos

$$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 12 = 0$$

2) Completar o quadrado

1. Para $x^2 - 4x$:

$$x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x-2)^2 - 4$$

2. Para $y^2 + 6y$:

$$y^2 + 6y = y^2 + 6y + 9 - 9 = (y+3)^2 - 9$$

3) Substituir de volta

$$(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + 12 = 0$$
$$(x-2)^2 + (y+3)^2 - 1 = 0$$
$$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 1$$

4) Identificar o centro

A equação está na forma $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
Então o centro é:

$$(h, k) = (2, -3)$$

5) Somar as coordenadas

$$2+(-3)=-1$$