(COSEAC UFF) - QUESTÃO

Em um sistema de coordenadas cartesianas, dois pontos, A (2, -3) e B (8, 1), são extremidades de um diâmetro de uma circunferência. Mariana, uma aluna do ensino médio, foi desafiada a encontrar a equação dessa circunferência. Corretamente, obteve:

Ⓐ x² + y² - 10x + 2y + 13 = 0

Ⓑ x² + y² + 5x - y - 11 = 0

Ⓒ x² + y² - 5x + y - 11 = 0

Ⓓ x² + y² + 10x - 2y + 23 = 0

Ⓔ x² + y² + 10x - 2y - 23 = 0

Resolvendo temos:

Passo 1: Encontrar o centro da circunferência

O centro $C$ de uma circunferência cujo diâmetro é $AB$ é o ponto médio de $A$ e $B$:

$$C=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$$

Substituindo $A(2, -3)$ e $B(8, 1)$:

$$C_x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
$$C_y=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Então o centro é $C(5, -1)$.

Passo 2: Encontrar o raio

O raio $r$ é a distância do centro até qualquer extremidade do diâmetro, por exemplo, até $A$:

$$r = \sqrt{(x_A - C_x)^2 + (y_A - C_y)^2} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-3 - (-1))^2}$$ $$r = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Passo 3: Escrever a equação da circunferência

A equação da circunferência com centro $(h,k)$ e raio $r$ é:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Substituindo $h = 5$, $k = -1$ e $r^2 = 13$:

$$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 13$$

Expandindo:

$$x^2 - 10x + 25 + y^2 + 2y + 1 = 13$$
$$x^2 + y^2 - 10x + 2y + (25 + 1 - 13) = 0$$
$$x^2+y^2-10x+2y+13=0$$