Números complexos - Resumo

➤ Definição

Número complexo é todo número da forma a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

Temos que i² = - 1

O conjunto dos números complexos é indicado por C = {a + bi, com a e b reais}

a + bi ↦ forma algébrica do número complexo, onde: a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos de números complexos:

a) 5 - 2i

b) 7 + √2i

c) 3i

Exemplos: 

01. Determine x, com x ∊ ℜ, de modo que o número complexo 5 + (3x - 9)i seja real.

Resolução:

o número 9 + (3x - 9)i é real se, e somente se, a parte imaginária é zero, isto é:

3x - 9 = 0  ↦  3x = 9 ↦  x = 9/3 = 3

02. Obter k, com k ∊ ℜ, de modo que o número complexo k² - 9 (k - 3)i, seja:

a) imaginário.

b) imaginário puro

Resolução:

a) o número k² - 9 + (k - 3)i é imaginário se, e somente se, a parte imaginária é diferente de zero, isto é: k - 3 ≠ 0 ↦ k ≠ 3.

b) o número k² - 9 + (k - 3)i é imaginário puro se, e somente se, a parte real é zero e a parte imaginária é diferente de zero, isto é:

|k² - 9 = 0 ↦ k² = 9 ↦ k = ± 3

|k - 3 ≠ 0 ↦ k ≠ 3

Concluímos que k = - 3

➤ Igualdade entre números complexos

Dois números complexos a + bi e c + di, com {a, b, c, d} ⊂ ℜ, são iguais se, somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais. Ou seja:

a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d

Exemplo:

01. Determinar os números reais x e y tais que 2x + y + 5i = 6 + ( x + y)i.

Resolução: 

Como vimos, dois números complexos são iguais se, somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais. isto é:

| 2x + y = 6 ⇒ y = 6 - 2x (I)

| 5 = x + y ⇒  x + y = 5 (II)

Substituindo (I) em (II) temos:

x +  (6 - 2x) = 5 ⇒ x + 6 - 2x = 5

- x = 5 - 6

- x = - 1 (-1)

x = 1

Substituindo x por 1 na equação (I) temos:

y = 6 - 2x  ⇒ y = 6 - 2.1

y = 6 - 2 = 4

➤ Conjugado dos números complexos

O conjugado do número complexo a + bi ocorre se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são opostas. Ou seja:

o conjugado de z = a + bi é dado por z' = a - bi

Exemplos:

Indique o conjugado dos seguintes números complexos:

a) z = 8 + 4i 

⇒ z' = 8 - 4i

b) z = 5 - 9i 

⇒ z' = 5 + 9i

c) z = 3 

⇒ z' = 3

➤ Operações com números complexos

Para quaisquer números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, em que a, b, c e d são números reais, temos:

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1 - z2 = z1  + (- z2)

z1 . z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

z1 : z2 = z1. 1/z2 (com z2 ≠ 0)

Exemplos: 

01. Dados os números complexos z1 = 5 + 8i, z2 = 1 + 2i e z3 = 2 – 3i, calcule:

a) z1 + z2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i

b) z2 + z3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i

02. Dados os números complexos z = - 4 + 2i, w = 5 + i, k = - 3i, calcule:

a) z - w = (- 4 + 2i) - (5 + i) = - 4 + 2i  - 5 - i = - 9 + i

b) k - w = (- 3i) - (5 + i) = - 3i - 5 - i = - 5 - 4i

03. Sendo z = 5 + 3i, w = 6, k = 2i, u = 2 - i, calcule:

a) z.w = (5 + 3i).(6) = 30 + 18i

b) z.k = (5 + 3i).(2i) = 10i + 6i² = 10i + 6.(-1) = - 6 + 10i

Obs.: i² = - 1

c) z.u = (5 + 3i).(2 - i) = 10 - 5i + 6i - 3i² = 10 + i - 3(-1) = 10 + i + 3 = 13 + i

04. Considere os números complexos z = 2 + 3i, w = 2 - i e k = 4i, calcule:

a) k/w  = (4i)/(2 - i) ⇒ 4i.(2 +i)/(2 - i)(2 + i) ⇒ 8i + 4i²/(4 + 2i - 2i - i²) ⇒ 8i - 4/4 + 1 ⇒ 8i/5 - 4/5

b) 1/z = 1/(2 + 3i) ⇒  1.(2 - 3i)/(2 + 3i).(2 - 3i) ⇒ 2 - 3i/(4 - 9i²) ⇒ 2 - 3i/13 = 2/13 - 3i/13

➤ Potências de números complexos

Existem quatro, e somente quatro, valores para potências de i com expoentes inteiros. São eles:

iº = 1

i¹ = i 

i² = - 1

i³ = - i

Exemplo:

01. Calcule o valor de cada uma das potências:

a) i³² 

Dividindo 32 por 4 temos 32:4 = 8, resto = 0 ↦  i³² ⇔  iº = 1

b) i²¹

Dividindo 21 por 4 temos 21:4 = 5, resto = 1 ↦  i²¹ ⇔  i¹ = i

c) i³³¹

Dividindo 331 por 4 temos 331:4 = 82, resto = 3 ↦  i³³¹ ⇔  i³ = - i

d) i²³³

Dividindo 233 por 4 temos 233:4 = 58, resto = 1 ↦  i²³³ ⇔  i¹ = i

➤ Valor absoluto ou módulo de um número complexo (plano de Argand-Gauss)

Dado o número complexo z = x + yi, seu valor absoluto (ou módulo), denotado |z| ou r, é dado conforme a seguir.

Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo.

É interessante observar que:

➲ o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado: |z| = |z'|

z' → conjugado de z

➲ o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu módulo: z.z' = |z|²


Exemplo:

Calcule o módulo dos seguintes números complexos

a) |4 + 3i| ⇒ r² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 ⇒ r = 5
b) |12 - 5i| ⇒ r² = 12² + (-5)² = 144 + 25 = 169 ⇒ r = 13
c) |4i| ⇒ r² = 0² + 4² = 0 + 16 = 16 ⇒ r = 4
d) |-7i| ⇒ r² = 0² + (-7)² = 0 + 49 = 49 ⇒ r = 7

➤ Argumento de um número complexo 

Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura a seguir), de modo que

x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ)

Como vimos, o número z = x + yi pode ser reescrito como

z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)] 

chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Obs.: O valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z. Denota-se arg(z) = θ.

Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo real positivo e pelo segmento de reta que representa r.

Exemplo

Calcular o módulo e o argumento de cada um do número complexo z = 2√3 + 2i.

Cálculo do módulo r :

r² = (2√3)² + 2²
r² = 4.3 + 4
r² = 12 + 4
r² = 16
r = √16 = 4

Cálculo do argumento θ:

cosθ = x/r = 2√3/4 = √3/2 ⇒ θ = 30º = 𝚷/6

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