(CEV URCA) - QUESTÃO

Com respeito ao gráfico da equação x² + y² + 2xy = 1, assinale a alternativa correta.

Ⓐ E uma circunferência

Ⓑ É um par de retas paralelas

Ⓒ É uma elipse

Ⓓ É um parábola

Ⓔ É um elipse

Vamos analisar a equação dada:

$$x^2 + y^2 + 2xy = 1$$

Essa equação é uma equação de segundo grau em $x$ e $y$. Para identificarmos o tipo de curva representada por essa equação, podemos começar verificando seu discriminante, que nos ajuda a determinar o tipo de cônica representada por uma equação geral de segundo grau:

A equação geral de segundo grau é da forma:

$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$

Aqui temos:

• $A = 1$ (coeficiente de $x^2$),

• $B = 2$ (coeficiente de $xy$),

• $C = 1$ (coeficiente de $y^2$),

• $D = E = F = 0$ (não há termos lineares nem constantes).

O discriminante $\Delta$ para uma equação de segundo grau em $x$ e $y$ é dado por:

$$\mathrm{\Delta }=B^2-4AC$$

Substituindo os valores de $A$, $B$ e $C$:

$$\mathrm{\Delta }=2^2-4(1)(1)=4-4=0$$

Quando o discriminante é zero ($\Delta = 0$), a equação representa um par de retas coincidentes ou uma retas paralelas.

Neste caso, com $\Delta = 0$, a equação representa um par de retas. No entanto, como não há termo linear de $x$ e $y$, podemos concluir que são retas paralelas.

Portanto, a alternativa correta é: É um par de retas paralelas.