(ESPM-SP) - QUESTÃO

A soma das raízes da equação tgx = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π é:

Ⓐ 3π/2

Ⓑ 0

Ⓒ 1

Ⓓ 2π

Ⓔ 3π

Resolvendo temos:

Vamos resolver a equação:

Equação:

$$\tan(x) = 1$$

no intervalo:

$$0 \leq x \leq 2\pi$$

1) Encontrar as soluções de $\tan(x) = 1$

Sabemos que:

$$\tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2) Procurar os valores de $x$ nesse intervalo $[0, 2\pi]$

Vamos substituir valores de $k$:

• Para $k = 0$:

  $$x=\frac{\pi }{4}$$

• Para $k = 1$:

  $$x=\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}$$

• Para $k = 2$:

  $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} > 2\pi \quad \text{(fora do intervalo)}$$
  

Portanto, as soluções dentro do intervalo $[0, 2\pi]$ são:

$$x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{4}$$

3) Somar as raízes

$$\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{4}=\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$$