(CEFET-RJ) - QUESTÃO

Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57 cm, podemos afirmar que o maior cateto mede:

Ⓐ 20 cm.

Ⓑ 19 cm.

Ⓒ 17 cm.

Ⓓ 23 cm.

Ⓔ 27 cm.

Resolvendo temos:

 1) Representar os lados em PA

Em uma PA de 3 termos, os termos podem ser representados como:

$$a - r,\quad a,\quad a + r$$

Ou, para facilitar, podemos usar:

$$x - d,\quad x,\quad x + d$$

Como temos um triângulo retângulo, o maior lado é a hipotenusa, e os outros dois são os catetos.

Logo, temos:

• Catetos: $x - d$ e $x$
  

• Hipotenusa: $x + d$

2) Aplicar o Teorema de Pitágoras

$$\text{(cateto 1)}^2 + \text{(cateto 2)}^2 = \text{(hipotenusa)}^2$$
$$(x - d)^2 + x^2 = (x + d)^2$$

Desenvolvendo:

$$(x - d)^2 = x^2 - 2xd + d^2 \\ (x + d)^2 = x^2 + 2xd + d^2$$

Substituindo na equação:

$$x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$$

Somando os termos do lado esquerdo:

$$2x^2 - 2xd + d^2 = x^2 + 2xd + d^2$$

Cortamos $d^2$ dos dois lados:

$$2x^2 - 2xd = x^2 + 2xd$$

Passa tudo para um lado:

$$2x^2 - 2xd - x^2 - 2xd = 0 \Rightarrow x^2 - 4xd = 0$$

Fatorando:

$$x(x - 4d) = 0$$

Como $x = 0$ não faz sentido (lado do triângulo não pode ser zero), temos:

$$x = 4d$$

3) Achar os lados e o perímetro

Substituindo $x = 4d$ nos lados:

• $x - d = 4d - d = 3d$
  

• $x = 4d$
  

• $x + d = 4d + d = 5d$
  

Então os lados são: $3d,\ 4d,\ 5d$

Perímetro:

$$3d + 4d + 5d = 12d = 57 \Rightarrow d = \frac{57}{12} = 4,75$$

Agora, achamos os lados:

• $3d = 3 \times 4,75 = 14,25$
  

• $4d = 19$
  

• $5d = 23,75$

4) Resposta final:

Os catetos são 14,25 cm e 19 cm, e a hipotenusa é 23,75 cm.

Portanto, o maior cateto mede 19 cm.