(IDECAN) - QUESTÃO

Considere os pontos A(1, 2) e B(4, 6), e a reta r de equação 3x − 4y + 1 = 0. A partir disso, determine a distância do ponto médio do segmento AB até a reta r.

Ⓐ 3/4.

Ⓑ 1.

Ⓒ 3/5.

Ⓓ 3/2.

Ⓔ 4/5.

Resolvendo temos:

1. Encontrar o ponto médio de $A(1,2)$ e $B(4,6)$:

$$M = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 4\right).$$

Portanto, $M = \left(\tfrac{5}{2}, 4\right)$

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2. Fórmula da distância de ponto $(x_0,y_0)$ à reta $ax+by+c=0$:

$$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Aqui, a reta é $3x - 4y + 1 = 0$.
Logo, $a=3, b=-4, c=1$.

3. Substituir o ponto $M$:

$$d = \frac{|3\cdot \tfrac{5}{2} - 4\cdot 4 + 1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|\tfrac{15}{2} - 16 + 1|}{\sqrt{9+16}}.$$
$$= \frac{|\tfrac{15}{2} - 15|}{\sqrt{25}} = \frac{|\tfrac{15}{2} - \tfrac{30}{2}|}{5}.$$
$$=\frac{\mathrm{\mid }\frac{-15}{2}\mathrm{\mid }}{5}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$