(VPNE) - QUESTÃO

Com relação as propriedades dos determinantes assinale a única alternativa correta considerando as afirmações abaixo:

I. O determinante de uma matriz quadrada A e o da  sua matriz da transposta são iguais.

II. O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.

III. Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

IV. Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, detA ≠ 0

a) I e II estão corretas

b) I, II e III estão corretas

c) Somente a IV está correta.

d) Somente a I está correta.

e) Todas as afirmações estão corretas.

Propriedades dos determinantes:

1ª propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

2ª propriedade
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ª propriedade
Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. 

4ª propriedade
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

5ª propriedade
Caso todos os elementos de uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kⁿ. Onde n equivale a ordem da matriz.

det (k.A) = kⁿ.det A

6ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz A é igual ao determinante da sua matriz transposta, detA = detA^t.

7ª propriedade

Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.

8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.

Lembre-se: Uma matriz é triangular, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A).(det B).

10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: detA = detB. 

Portanto, todas as afirmações da questão proposta estão corretas.