(AOCP) - QUESTÃO

Ao resolver a equação 4^x − 12.2^x + 32 = 0, foram encontrados como raízes dois números, a e b, com a > b. Assinale a alternativa que apresenta o valor de a + b.

Ⓐ 5

Ⓑ 12

Ⓒ 32

Ⓓ 4

Ⓔ 16

A equação dada é:

$$4^x - 12 \cdot 2^x + 32 = 0$$

Primeiramente, vamos tentar simplificar a equação. Observe que $4^x$ pode ser reescrito como $(2^2)^x = (2^x)^2$. Então, a equação se torna:

$$(2^x{)}^2-12\cdot 2^x+32=0$$

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Definimos $y = 2^x$, então a equação se torna uma equação quadrática em $y$:

$$y^2-12y+32=0$$

Agora podemos resolver essa equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara. A fórmula para as raízes de uma equação quadrática $ay^2 + by + c = 0$ é:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

No nosso caso, $a = 1$, $b = -12$ e $c = 32$. Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara:

$$y = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(32)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$$ $$y = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$y = \frac{12 \pm 4}{2}$$

Portanto, as raízes de $y$ são:

$$y_1 = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
$$y_2 = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Agora, voltando à variável $x$, sabemos que $y = 2^x$. Então, temos as duas equações:

1. $2^x=8$

2. $2^x = 4$
   

Resolvendo essas equações:

1. $2^x = 8 \implies x = 3$
   

2. $2^x = 4 \implies x = 2$
   

Portanto, as raízes da equação original são $x = 3$ e $x = 2$. Como foi dito que $a > b$, temos:

• $a = 3$
  

• $b = 2$
  

Assim, $a + b = 3 + 2 = 5$.