Observe o polinômio abaixo:
𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)n
Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?
Ⓐ 1
Ⓑ 2
Ⓒ 4
Ⓓ 5
Ⓔ 7
Dados: 𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)n
Para calcular a soma dos coeficientes do polinômio dado basta substituir os valores acompanhados de x por 1.
Então fica assim: 𝑝(1) = (1³ + 2.1² + 3.1 − 3)𝑛² ∙ (1² + 1 + 1)n
Somando temos:
𝑝(1) = (1 + 2 + 3 − 3)𝑛² ∙ (1 + 1 + 1)n
𝑝(1) = (3)𝑛² ∙ (3)n
Dado que (3)𝑛² ∙ (3)n = 729 ⇒ 3𝑛² + n = 36 ⇒ n² + n = 6 ⇒ n² + n - 6 = 0
Calculando as raízes de n² + n - 6 = 0 temos:
n' = - 3 e n" = 2
Assim, o valor do número natural 𝑛 = 2
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