(VPNE - CFGS/ESA) - QUESTÃO

A equação da elipse cujos focos são F1(1, 0) e F2(-1, 0) e que passa pelo ponto P(2, 0) é:

a) x²/4 - y²/3 = 1

b) x²/4 + y²/3 = 1

c) x²/2 + y²/5 = 1

d) x²/3 + y²/4 = 1

e) x² + y² = 1

Analisando os focos, o eixo maior da elipse está contido no eixo x.

Para um ponto P(x, y) da elipse, temos:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

Dados: F1(1, 0) e F2(-1, 0) e P(2, 0) 

Calculamos: 

d(P, F1)² = (2 - 1)² + (0 - 0)² ⇒ d(P, F1)² = 1² ⇒ d(P, F1)² = 1 ⇒ d(P, F1) = 1

d(P, F2)² = (2 + 1)² + (0 - 0)² ⇒ d(P, F1)² = 3² ⇒ d(P, F1)² = 9  ⇒ d(P, F1) = 3

Como d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ⇒ 1 + 3 = 2a ⇒ 2a = 4 ⇒ a = 2

Se c = 1 e a = 2, então: a² = b² + c² ⇒ 2² + b² + 1² ⇒ b² = 4 - 1 ⇒ b² = 3 ⇒ b = √3

Comparando com a equação x²/a² + y²/b² = 1, temos:

x²/2² + y²/(√3)² = 1 ⇒ x²/4 + y²/3 = 1