(ESA 2025 - CFGS 2026 – 27) - QUESTÃO

Considere a matriz real a seguir:

Sabendo-se que seu determinante é igual a –57 e que xϵR, pode-se concluir que x é:

Ⓐ Um número múltiplo de 4. 

Ⓑ Um número divisor de 9. 

Ⓒ Um número primo. 

Ⓓ Um número que possui 2 divisores inteiros.

Ⓔ Um número negativo.

Vamos calcular o determinante:

$$\begin{vmatrix} x-1 & 2 & 3\\[4pt] -4 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 5 & 3 \end{vmatrix} =(x-1)\begin{vmatrix}3&2\\[2pt]5&3\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}-4&2\\[2pt]4&3\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}-4&3\\[2pt]4&5\end{vmatrix}.$$

Calculemos os menores:

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix}3&2\\5&3\end{vmatrix}&=9-10=-1,\\ \begin{vmatrix}-4&2\\4&3\end{vmatrix}&=-12-8=-20,\\ \begin{vmatrix}-4&3\\4&5\end{vmatrix}&=-20-12=-32. \end{aligned}$$

Substituindo:

$$\det = (x-1)(-1)-2(-20)+3(-32)=-x+1+40-96=-x-55.$$

Como $\det=-57$, temos $-x-55=-57\Rightarrow -x=-2\Rightarrow x=2$.

Portanto $x=2$, que é um número primo.