(VUNESP) - QUESTÃO

Em uma progressão geométrica de sete termos positivos, a soma dos cinco primeiros é 605 e a soma dos cinco últimos é 5445. A diferença entre o 5º e o 4º termos é igual a

Ⓐ 275

Ⓑ 270

Ⓒ 280

Ⓓ 285

Ⓔ 290

Resolvendo a questão temos:

Sejam os termos da progressão geométrica $a,ar,ar^2,\dots,ar^6$ (todos positivos).

Soma dos 5 primeiros:

$$S_1=a+\!ar+\!ar^2+\!ar^3+\!ar^4=a\frac{1-r^5}{1-r}=605.$$

Soma dos 5 últimos (termos 3 a 7):

$$S_2=ar^2+ar^3+ar^4+ar^5+ar^6=ar^2\frac{1-r^5}{1-r}=5445.$$

Dividindo $S_2$ por $S_1$:

$$\frac{S_2}{S_1}=r^2=\frac{5445}{605}=9 \implies r=3\ (\text{positiva}).$$

Substituindo em $S_1$:

$$a\frac{1-3^5}{1-3}=a\frac{1-243}{-2}=a\cdot121=605 \implies a=5.$$

Os termos são $5,15,45,135,405,\dots$. Então a diferença entre o 5º e o 4º termos é

$$405-135=270.$$