(CESCEM-SP) - QUESTÃO

Seja o número complexo z = (m + 2i)(2 − i), em que m e R. Para um determinado valor de m, o número z pode ser um imaginário puro igual a:

Ⓐ −4i 

Ⓑ − i 

Ⓒ 2i 

Ⓓ 3i

Ⓔ 5i

Temos:

$$z = (m + 2i)(2 - i)$$

1. Expandindo o produto

$$z = m(2 - i) + 2i(2 - i)$$
$$z = 2m - mi + 4i - 2i^2$$

Sabendo que $i^2 = -1$:

$$z = 2m - mi + 4i - 2(-1)$$
$$z = 2m - mi + 4i + 2$$

2. Separando parte real e imaginária
Parte real:

$$\text{Re}(z) = 2m + 2$$

Parte imaginária:

$$\text{Im}(z) = -m + 4$$

3. Condição para ser imaginário puro
Parte real = 0:

$$2m + 2 = 0$$
$$m = -1$$

4. Encontrando a parte imaginária
Se $m = -1$:

$$\text{Im}(z) = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5$$

Logo:

$$z=5i$$