(VPNE CFGS/ESA) - QUESTÃO

O ponto A, de intersecção das retas r e s, de equações x – y – 4 = 0 e x + y + 2 = 0, respectivamente, e os pontos B e C, de intersecção das mesmas retas com o eixo x, são os vértices do triângulo ABC. Qual é a área desse triângulo?

Ⓐ 3 

Ⓑ 6 

Ⓒ 9 

Ⓓ 12 

Ⓔ 15

Vamos resolver essa questão passo a passo para encontrar a área do triângulo ABC, formado pelos pontos:

• A: interseção das retas $r: x - y - 4 = 0$ e $s: x + y + 2 = 0$
  

• B: interseção da reta $r$ com o eixo x

• C: interseção da reta $s$ com o eixo x

- Encontrar o ponto A (interseção entre as retas r e s)

Temos o sistema:

$$\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = -2 \end{cases}$$

Somando as equações:

$$(x - y) + (x + y) = 4 + (-2) \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$$

Substituindo em $x + y = -2$:

$$1 + y = -2 \Rightarrow y = -3$$

Então, o ponto A é:

$$A = (1, -3)$$

- Encontrar o ponto B (reta $r$ com eixo x)

A interseção com o eixo x ocorre quando $y = 0$. Substituímos na equação de $r$:

$$x-0-4=0\Rightarrow x=4$$

Então, o ponto B é:

$$B = (4, 0)$$

- Encontrar o ponto C (reta $s$ com eixo x)

Novamente, no eixo x temos $y = 0$. Substituímos na equação de $s$:

$$x+0+2=0\Rightarrow x=-2$$

Então, o ponto C é:

$$C = (-2, 0)$$

- Calcular a área do triângulo ABC

Agora que temos os três vértices:

• $A = (1, -3)$
  

• $B = (4, 0)$
  

• $C = (-2, 0)$
  

Vamos usar a fórmula da área com coordenadas:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

Substituindo:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 1(0 - 0) + 4(0 - (-3)) + (-2)(-3 - 0) \right|$$
$$=\frac{1}{2}\mid 0+4(3)+(-2)(-3)\mid =\frac{1}{2}\mid 12+6\mid =\frac{1}{2}(18)=9$$