(FEPESE) - QUESTÃO

Sejam f(x) = x² – 16 e g(x) = x – 4 funções reais. Tome y como o maior número real tal que a função composta h = f(g(x)) se anula, isto é, y é o maior número real tal que h(y) = 0. Então, o logarítmo na base 2 de y, log₂y, é igual a:

Ⓐ 0

Ⓑ 1

Ⓒ 2

Ⓓ 3

Ⓔ 4

Vamos resolver passo a passo:

1. Definindo as funções:

Temos:

• $f(x) = x^2 - 16$
  

• $g(x) = x - 4$
  

• $h(x) = f(g(x))$
  

2. Calculando a função composta $h(x) = f(g(x))$:

$$h(x)=f(g(x))=f(x-4)=(x-4{)}^2-16$$

Agora vamos expandir:

$$h(x)=(x-4{)}^2-16=x^2-8x+16-16=x^2-8x$$

Portanto:

$$h(x) = x^2 - 8x$$

3. Encontrando os valores de $x$ que anulam $h(x)$, ou seja, $h(x) = 0$:

$$x^2-8x=0\Rightarrow x(x-8)=0$$

As soluções são:

$$x=0\text{ou}x=8$$

O maior número real que anula $h(x)$ é:

$$y=8$$

4. Calculando $\log_2 y = \log_2 8$:

Sabemos que:

$$8=2^3\Rightarrow {\log }_{2}8=3$$