(EDUCA PB) - QUESTÃO

Uma das raízes do polinômio P(x) abaixo é 5.

p(x) = x³ − 6x² − x + 30

O produto entre todas as raízes de P(x) é igual a:

Ⓐ −20

Ⓑ 18

Ⓒ 20

Ⓓ −30

Ⓔ 24

Resolvendo a questão dada temos:

O polinômio dado é:

$$P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$$

Seja $r_1, r_2, r_3$ as raízes de $P(x)$. Pelo teorema de Girard, o produto das raízes de um polinômio cúbico $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ é:

$$r_1 r_2 r_3 = -c$$

Atenção: isso vale se o polinômio estiver na forma monômica $x^3 + ax^2 + bx + c$

No nosso caso:

$$P(x) = x^3 - 6x^2 - x + 30$$

Comparando com $x^3 + ax^2 + bx + c$, temos:

• $a = -6$
  

• $b = -1$
  

• $c = 30$
  

Portanto:

$$r_1 r_2 r_3 = -c = -30$$

Logo, o produto das raízes é $-30$.