(COMPEC UFAM) - QUESTÃO

Subtraindo-se 16 unidades de um número real positivo, seu logaritmo em base 5 diminui uma unidade. Então esse número deve ser igual a:

Ⓐ 20

Ⓑ 34

Ⓒ 48

Ⓓ 56

Ⓔ 60

Vamos resolver o problema passo a passo:

Enunciado:

Subtraindo-se 16 unidades de um número real positivo, seu logaritmo em base 5 diminui uma unidade.

Ou seja, se o número é $x$, então:

$$\log_5(x - 16) = \log_5(x) - 1$$

1) Usar a propriedade dos logaritmos

Sabemos que:

$$\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)$$

Logo:

$$\log_5(x - 16) = \log_5(x) - 1 = \log_5(x) + \log_5\left(\frac{1}{5}\right) = \log_5\left(x \cdot \frac{1}{5}\right) = \log_5\left(\frac{x}{5}\right)$$

Portanto, temos:

$$\log_5(x - 16) = \log_5\left(\frac{x}{5}\right)$$

2) Igualar os argumentos

Se os logaritmos são iguais (mesma base), então os argumentos são iguais:

$$x - 16 = \frac{x}{5}$$

3) Resolver a equação

Multiplicando ambos os lados por 5:

$$5(x-16)=x\Rightarrow 5x-80=x\Rightarrow 5x-x=80\Rightarrow 4x=80\Rightarrow x=20$$