(AV Moreira) - QUESTÃO

O conjunto solução da equação (log3x)² − 12 log3x + 27 = 0 é:

Ⓐ {2, 1024}

Ⓑ {4, 64}

Ⓒ {9, 243}

Ⓓ {3, 2187}

Ⓔ {27, 19683}

Vamos resolver a equação:

$$(\log_3 x)^2 - 12 \log_3 x + 27 = 0$$

1) Substituição

Seja $y = \log_3 x$, então a equação vira:

$$y^2 - 12y + 27 = 0$$

2) Resolver a equação quadrática

Vamos resolver usando Bhaskara:

$$\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$$
$$y = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2}$$ $$y_1 = \frac{12 + 6}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{12 - 6}{2} = 3$$

3) Voltar para $x$

Sabemos que:

$$y = \log_3 x \Rightarrow x = 3^y$$

• Se $y = 9$, então $x = 3^9 = 19683$
  

• Se $y = 3$, então $x=3^3=27$