(UNESC) - QUESTÃO

Durante a análise de circuitos elétricos, um engenheiro de sistemas está utilizando números complexos para representar impedâncias de componentes. Ele se deparou com dois números complexos, Z1 e Z2, que representam duas impedâncias em um circuito. Para calcular uma nova impedância w, o engenheiro precisa determinar a razão entre Z1 e Z2, ou seja, w = Z1/Z2. Sabendo que Z1 = 2 + 3i e Z2 = 4 − i, determine o valor de w na forma a + bi, onde a e b são números reais.

Ⓐ w = (1 + 3i)/17

Ⓑ w = (5 + 14i)/17

Ⓒ w = 17/5 + 17/10i

Ⓓ w = (14 + 5i)/17

Ⓔ w = (7 + 5i)/17

Temos:

$$Z_1 = 2 + 3i$$
$$Z_2 = 4 - i$$

Queremos:

$$w = \frac{Z_1}{Z_2}$$

Passo 1 — Multiplicar pelo conjugado de $Z_2$
O conjugado de $4 - i$ é $4 + i$, então:

$$w = \frac{(2 + 3i)(4 + i)}{(4 - i)(4 + i)}$$

Passo 2 — Calcular o denominador

$$(4 - i)(4 + i) = 4^2 - (i)^2 = 16 - (-1) = 16 + 1 = 17$$

Passo 3 — Calcular o numerador

$$(2 + 3i)(4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i$$
$$= 8 + 2i + 12i + 3i^2$$
$$= 8 + 14i + 3(-1)$$
$$= 8 + 14i - 3$$
$$= 5 + 14i$$

Passo 4 — Resultado final

$$w=\frac{5+14i}{\mathrm{17<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"></span>}}$$