(FGV) - QUESTÃO

O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano ℝ × ℝ que satisfazem 9x² + 25y² = 9 é uma elipse, cuja distância entre os focos, em unidades de comprimento, vale 

Ⓐ 0,6.

Ⓑ 0,8.

Ⓒ 1,2.

Ⓓ 1,6.

Ⓔ 1,8.

A equação dada é:

$9x^2 + 25y^2 = 9$

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão da elipse:

Dividimos todos os termos por 9:

$$\frac{9x^2}{9} + \frac{25y^2}{9} = \frac{9}{9} \implies x^2 + \frac{25}{9}y^2 = 1$$

Ou seja,

$$x^2 + \frac{25}{9}y^2 = 1$$

Podemos reescrever:

$$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{\frac{9}{25}} = 1$$

Note que:

$$a^2 = 1$$
$$b^2 = \frac{9}{25} = 0,36$$

Então a elipse tem:

• semi-eixo maior $a=1$

• semi-eixo menor $b = 0,6$
  

Como $a > b$, o eixo maior está no eixo $x$.

A distância entre os focos de uma elipse é dada por:

$$2c, \quad \text{onde} \quad c^2 = a^2 - b^2$$

Calculando $c$:

$$c^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \implies c = \sqrt{0,64} = 0,8$$

Portanto, a distância entre os focos é:

$$2c=2\times 0,8=1,6$$