(COTEC FADENOR) - QUESTÃO

Considere k ∈ R e i a unidade imaginária. Nessas condições, o número complexo z = (k² − 5k) +(k² − 25)i será um número real não nulo para

Ⓐ k < −5 .

Ⓑ −5 < k < 5.

Ⓒ k > 5.

Ⓓ k = 5.

Ⓔ k = −5.

Vamos analisar passo a passo. Temos o número complexo:

$$z = (k^2 - 5k) + (k^2 - 25)i$$

Para que $z$ seja um número real, a parte imaginária deve ser zero. A parte imaginária é:

$$\text{Im}(z) = k^2 - 25$$

Então, devemos resolver:

$$k^2 - 25 = 0$$
$$k^2 = 25$$
$$k = 5 \quad \text{ou} \quad k = -5$$

Agora, como o número deve ser real não nulo, precisamos que a parte real não seja zero:

$$\text{Re}(z) = k^2 - 5k$$

1. Para $k = 5$:

$$\text{Re}(z) = 5^2 - 5\cdot 5 = 25 - 25 = 0$$

➡ parte real é zero → z = 0 (não queremos).

2. Para $k = -5$:

$$\text{Re}(z) = (-5)^2 - 5(-5) = 25 + 25 = 50$$

➡ parte real não nula → z é real não nulo.