(VUNESP) - QUESTÃO

No plano cartesiano, a circunferência de equação x² + y² – 6x – 8y – 160 = 0 tem centro C e intersecta o semieixo positivo x no ponto A(16, 0). Sendo B(– 8, 12) um ponto dessa circunferência, a área do triângulo ABC é

Ⓐ 42.

Ⓑ 24.

Ⓒ 30.

Ⓓ 36.

Ⓔ 18.

Vamos resolver passo a passo. A equação da circunferência é:

$$x^2 + y^2 - 6x - 8y - 160 = 0$$

Encontrar o centro e o raio da circunferência

A equação geral da circunferência é:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

O centro $(h, k)$ e o raio $r$ são dados por:

$$h = -\frac{D}{2}, \quad k = -\frac{E}{2}, \quad r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}$$

Aqui, $D = -6$, $E = -8$, $F = -160$. Então:

$$h = -\frac{-6}{2} = 3, \quad k = -\frac{-8}{2} = 4$$

Centro: $C(3, 4)$.

Encontrar o raio

$$r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-160)} = \sqrt{9 + 16 + 160} = \sqrt{185}$$

Área do triângulo ABC

O triângulo tem vértices:

• $A(16, 0)$
  

• $B(-8, 12)$
  

• $C(3, 4)$
  

A fórmula da área de um triângulo com vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ é:

$$\text{Área} = \frac{1}{2} \big| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \big|$$

Substituindo:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \acute{\text{A}}\text{rea}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid 16(12-4)+(-8)(4-0)+3(0-12)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid 16\cdot 8+(-8)\cdot 4+3\cdot (-12)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\mid 128-32-36\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 60}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =30}\end{array}$$