(FUNDATEC) - QUESTÃO

Considere uma circunferência cuja equação é 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥 − 2𝑦 = 18. Qual é a equação da reta tangente à circunferência dada no ponto de coordenadas (3,5)?

Ⓐ 𝑥 + 2𝑦 = 13.

Ⓑ 2𝑥 + 𝑦 = −13.

Ⓒ 𝑥 − 2𝑦 = 13.

Ⓓ −2𝑥 + 𝑦 = 13.

Ⓔ −𝑥 + 2𝑦 = 13.

1) Equação da circunferência

$$x^2+y^2-2x-2y=18$$

2) Vamos encontrar o centro e o raio

Completar quadrados:

$$x^2 - 2x + y^2 - 2y = 18$$

Completar quadrado em $x$:

$$x^2 - 2x = x^2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)^2 - 1$$

Completar quadrado em $y$:

$$y^2 - 2y = y^2 - 2y + 1 - 1 = (y - 1)^2 - 1$$

Logo,

$$(x - 1)^2 - 1 + (y - 1)^2 - 1 = 18 \\ \Rightarrow (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$$

Portanto,

• Centro: $C = (1, 1)$

• Raio: $r=\sqrt{20}$

3) Verificar se o ponto está na circunferência

Substituir $(3,5)$:

$$(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20.$$

Está certo! O ponto pertence à circunferência.

4) Inclinação da reta tangente

A reta tangente é perpendicular ao raio.

O vetor raio é:

$$\vec{r} = (3 - 1, 5 - 1) = (2, 4).$$

Portanto, a inclinação do raio é:

$$m_r = \frac{4}{2} = 2.$$

Logo, a inclinação da reta tangente é:

$$m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{1}{2}.$$

5) Equação da reta tangente

Usando o ponto $(3,5)\; temos$:

$$y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 3).$$

Multiplicando por 2 para eliminar denominador:

2(y − 5) = − (x − 3)
2y − 10 = − x + 3
x + 2y − 13 = 0.
x + 2y = 13