(FGV) - QUESTÃO

Em um plano cartesiano, C é uma circunferência em que a corda AB, tal que A(8,17) e B(18,-7), é um de seus diâmetros. Os pontos em que C intersecta os eixos coordenados são vértices de um triângulo, cuja área vale

A) 70.

B) 66.

C) 64.

D) 60.

E) 56.

1. Centro da circunferência C

O centro é o ponto médio de AB:

$$x_C = \frac{8 + 18}{2} = \frac{26}{2} = 13, \quad y_C = \frac{17 + (-7)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Então, o centro C é (13, 5).

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2. Raio da circunferência

O raio é a metade do comprimento de AB. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:

$$AB = \sqrt{(18 - 8)^2 + (-7 - 17)^2} = \sqrt{10^2 + (-24)^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$

Então, o raio é:

$$r=\frac{26}{2}=13$$

3. Equação da circunferência temos:

$$(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2 \Rightarrow (x - 13)^2 + (y - 5)^2 = 169$$

4. Interseções com os eixos coordenados

(a) Interseções com o eixo x (y = 0):

Substituímos $y = 0$:

$$(x - 13)^2 + (0 - 5)^2 = 169 \Rightarrow (x - 13)^2 + 25 = 169 \Rightarrow (x - 13)^2 = 144 \Rightarrow x - 13 = \pm 12 \Rightarrow x = 13 \pm 12 \Rightarrow x = 1 \text{ ou } x = 25$$

Então os pontos são: (1, 0) e (25, 0)

(b) Interseções com o eixo y (x = 0):

Substituímos $x = 0$:

$$(0 - 13)^2 + (y - 5)^2 = 169 \Rightarrow 169 + (y - 5)^2 = 169 \Rightarrow (y - 5)^2 = 0 \Rightarrow y = 5$$

Então o ponto é: (0, 5)

5. Triângulo formado pelos pontos: (1,0), (25,0), (0,5)

Esses são os vértices do triângulo formado pelas interseções da circunferência com os eixos coordenados.

Podemos usar a fórmula da área com coordenadas:

$$A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

Usando os pontos:

• $A = (1, 0)$
  

• $B=(25,0)$

• $C = (0, 5)$
  

$$A=\frac{1}{2}\mid 1(0-5)+25(5-0)+0(0-0)\mid =\frac{1}{2}\mathrm{\mid }-5+125+0\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}\cdot 120=60$$