(UNESP) - QUESTÃO

Considere a equação matricial A + BX = X + 2C, cuja incógnita é a matriz X e todas as matrizes são quadradas de ordem n. A condição necessária e suficiente para que esta equação tenha solução única é que:

a) B – I ≠ O, onde I é a matriz identidade de ordem n e O é a matriz nula de ordem n.
b) B seja invertível.
c) B ≠ O, onde O é a matriz nula de ordem n.
d) B – I seja invertível, onde I é a matriz identidade de ordem n.
e) A e C sejam invertíveis.

Para resolver a equação matricial, precisamos isolar o X em um dos lados do sinal de igual. Para isso, vamos inicialmente subtrair a matriz A em ambos os lados.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Agora, vamos subtrair o X, também em ambos os lados. Neste caso, a equação ficará:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

Sendo I a matriz identidade, quando multiplicamos uma matriz pela identidade o resultado é a própria matriz.

Assim, para isolar o X devemos agora multiplicar os dois lados do sinal de igual pela matriz inversa de (B-I), ou seja:

X.(B - I).(B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)

Lembrando que quando uma matriz é invertível, o produto da matriz pela inversa é igual a matriz identidade.
X = (B - I) - 1. (2C - A) 

Assim, a equação terá solução quando B - I for invertível.

2 comentários:

  1. Preciso estudar mais um pouco, não entendi qual a base para responder a questão

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    Respostas
    1. 1) Qualquer matriz X a matriz identidade = ela mesma .
      2) Qualquer matriz X a sua matriz inversa = a matriz identidade .

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