(FADENOR 2026) - QUESTÃO

 Se senx = 3/5  e x está no primeiro quadrante, o valor do cos2x é 

Ⓐ − 7/25  

Ⓑ 7/25 

Ⓒ − 24/25 

Ⓓ 24/25

Ⓔ 24/30

Vamos resolver passo a passo.

Dado: $\text{<span style="color: \#444444;">sen</span>}\mathrm{<span\; style="color:\; \#222222;">x</span>}<span\; style="color:\; \#222222;">=\; 3/5 <span\; class="katex"\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"><span\; aria-hidden="true"\; class="katex-html"><span\; class="base"><span\; class="mord"><span\; class="mfrac"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"></span></span><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"></span></span></span></span><span\; class="mclose\; nulldelimiter"></span></span></span></span></span><span\; style="color:\; \#222222;\; font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;">\; e </span></span>$$x$ está no primeiro quadrante.

Queremos $\cos 2x$.

Passo 1: Encontrar $\cos x$

No primeiro quadrante, tanto $\sin x > 0$ quanto $\cos x > 0$.
Sabemos a identidade fundamental:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Substituindo $\sin x = 3/5$:

$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$$
$$\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1$$
$$\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$

Como $x$ está no primeiro quadrante:

$$\cos x = \frac{4}{5}$$

Passo 2: Usar a fórmula do cosseno do ângulo duplo

A fórmula é:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$$

Substituindo $\cos x = 4/5$:

$$\cos 2x = 2 \left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1$$
$$\cos 2x = 2 \cdot \frac{16}{25} - 1$$
$$\cos 2x = \frac{32}{25} - 1$$
$$\cos 2x=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$