(FUNPAR NC UFPR) - QUESTÃO

Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² − b funções, com a e b números reais. Sabendo que r =  1/2 é a única raiz da função composta f(x) = q(p(x)), assinale a alternativa que corresponde à soma a + b.

a) − 2

b) − 1

c) − 1/2

d) 1/2

e) 2

Dados:

p(x) = x + a

q(x) = x² − b

f(x) = q(p(x))

Calculando:

Vamos substituir p(x) em q (x), então fica assim:

q(p(x)) = (p(x))² − b  →  q(x + a) = (x + a)² − b = x² + 2ax + a² − b

f(x) = q(p(x)) → f(x) = x² + 2ax + a² − b = 0

Dado que r = 1/2 é raíz única de f(x) = q(p(x)), então → ∆ = 0

De f(x) = x² + 2ax + a² − b = 0, temos que a = 1, b = 2a e c = a² − b

Se ∆ = 0, então temos que b² − 4.a.c = 0 → (2a)² − 4.1.(a² − b) = 0

4a² − 4a² + 4b = 0 → 4b = 0 → b = 0

Como f(x) = x² + 2ax + a² − b = 0 → f(x) = x² + 2ax + a²

f(1/2) = (1/2)² + 2.a.1/2 + a² − b = 0 → 1/4 + a + a² − b = 0

a² + a − b = − 1/4, como b = 0, então temos o seguinte:

a² + a = − 1/4 → a² + a + 1/4 = 0 (achar as raízes da equação)

a' = a" = − 1/2

a + b = −1/2 + 0 = − 1/2