(Avança SP) - QUESTÃO

Para otimizar a construção de um condomínio de prédios, a empreiteira chegou ao seguinte modelo matemático para o valor de mão de obra (V) em função do número de prédios construídos (p).

V = 100p² - 1000p + 10000.

Qual o menor valor gasto de mão de obra? Assinale a resposta correta.

a) 7500

b) 8000

c) 2500

d) 7000

e) 10000

RESUMO:

1) Máximo e mínimo

Teorema. Se a < 0, a função quadrática y = ax² + bx + c admite valor máximo

yM = − ∆/4a (Valor máximo), para xM = − b/2a (Ponto de máximo)

Teorema.Se a > 0, a função quadrática y = ax² + bx + c admite valor mínimo 

yM = − ∆/4a (Valor mínimo), para xM = − b/2a (Ponto de mínimo)

∆ = b² - 4.a.c

2) Vértice

Chamamos por vértice da parábola o ponto V (− b/2a, − ∆/4a) associado à função quadrática y = ax² + bx + c.

3) Soma e produto das raízes

S = x' + x" = - b/a

P = x'.x" = c/a

- Voltando à questão temos:

Dado: V = 100p² - 1000p + 10000. Temos então que: a = 100, b = - 1000 e c = 10.000

Como a > 0  (Valor mínimo)

yM = − ∆/4a

yM = − (b² -4.a.c)/4a

yM = − ((-1000)² -4.100.10000)/4.100

yM = − (1.000.000 - 4.000.000)/400

yM = − (-3000.000)/400

yM = 3000.000/400 = 7500