(FUNDEP) - QUESTÃO

O número de soluções reais da equação |2x – 3| + 2 = |x + 4| é:

Ⓐ 0.

Ⓑ 1.

Ⓒ 2.

Ⓓ 3.

Ⓔ 4.

Vamos resolver a equação $|2x - 3| + 2 = |x + 4|$.

Passo 1: Identificar as condições para as expressões absolutas

A equação envolve dois valores absolutos, $|2x - 3|$ e $|x + 4|$, e precisamos analisar as condições sob as quais essas expressões mudam de sinal.

Para $|2x - 3|$:

• Se $2x - 3 \geq 0$, ou seja, $x \geq \frac{3}{2}$, então $|2x - 3| = 2x - 3$.

• Se $2x - 3 < 0$, ou seja, $x < \frac{3}{2}$, então $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$.

Para $|x + 4|$:

• Se $x + 4 \geq 0$, ou seja, $x \geq -4$, então $|x + 4| = x + 4$.

• Se $x + 4 < 0$, ou seja, $x < -4$, então $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$.

Agora, vamos resolver a equação considerando os diferentes intervalos para $x$.

Passo 2: Resolver em intervalos

Intervalo 1: $x \geq \frac{3}{2}$

Neste caso, $|2x - 3| = 2x - 3$ e $|x + 4| = x + 4$, então a equação fica:

$$(2x-3)+2=x+4$$

Simplificando:

$$2x - 1 = x + 4$$
$$2x - x = 4 + 1$$
$$x=5$$

Então, $x = 5$ é uma solução válida para $x \geq \frac{3}{2}$.

Intervalo 2: $-4 \leq x < \frac{3}{2}$

Neste caso, $|2x - 3| = -2x + 3$ e $|x + 4| = x + 4$, então a equação fica:

$$(-2x + 3) + 2 = x + 4$$

Simplificando:

$$-2x + 5 = x + 4$$
$$-2x - x = 4 - 5$$
$$-3x = -1$$
$$x = \frac{1}{3}$$

Então, $x = \frac{1}{3}$ é uma solução válida para $-4 \leq x < \frac{3}{2}$.

Intervalo 3: $x < -4$

Neste caso, $|2x - 3| = -2x + 3$ e $|x + 4| = -x - 4$, então a equação fica:

$$(-2x + 3) + 2 = -x - 4$$

Simplificando:

$$-2x + 5 = -x - 4$$
$$-2x + x = -4 - 5$$
$$-x = -9$$
$$x = 9$$

No entanto, $x = 9$ não pertence ao intervalo $x < -4$, então não é uma solução válida.

Passo 3: Concluir

As soluções encontradas foram $x = 5$ e $x = \frac{1}{3}$. Portanto, o número de soluções reais é 2.