(IDECAN) - QUESTÃO

Considere os pontos A(1, 2) e B(4, 6), e a reta r de equação 3x − 4y + 1 = 0. A partir disso, determine a distância do ponto médio do segmento AB até a reta r.

Ⓐ 3/4.

Ⓑ 1.

Ⓒ 3/5.

Ⓓ 3/2.

Ⓔ 2/3.

1. Determinar o ponto médio $M$ do segmento $AB$.

A fórmula do ponto médio entre $A(x_1, y_1)$e $B(x_2, y_2)$ é:

$$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Substituindo os valores:

$$M = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{8}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 4\right)$$

2. Fórmula da distância de um ponto a uma reta

Se a reta tem equação $ax + by + c = 0$ e o ponto é $P(x_0, y_0)$, a distância é:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Aqui, a reta é $3x - 4y + 1 = 0$, logo: $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$, e o ponto $M$ é $(5/2, 4)$.

3. Substituir na fórmula

$$d = \frac{|3 \cdot \frac{5}{2} - 4 \cdot 4 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$$

Calculando passo a passo:

• Numerador:

$$3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2}, \quad -4 \cdot 4 = -16$$
$$\frac{15}{2} - 16 + 1 = \frac{15}{2} - 15 = \frac{15-30}{2} = -\frac{15}{2}$$

Valor absoluto: $|-\frac{15}{2}| = \frac{15}{2}$

• Denominador:

$$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Portanto:

$$d=\frac{15\mathrm{/}2}{5}=\frac{15}{10}=\frac{3}{\mathrm{2<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"></span>}}$$