(VPNE CFGS/ESA) - QUESTÃO

A distância do ponto P (3, 2) à equação da reta que passa pelos pontos A(12, 0) e B(0, 9) é:

Ⓐ 2,7

Ⓑ 3,6

Ⓒ 2,4

Ⓓ 2,8

Ⓔ 3,8

Vamos calcular a distância do ponto $P(3,2)$ à reta que passa pelos pontos $A(12,0)$e $B(0,9)$.

Passo 1: Encontrar a equação da reta AB

Dado dois pontos $A(x_1, y_1) = (12, 0)$ e $B(x_2, y_2) = (0, 9)$, vamos calcular o coeficiente angular $m$:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 0}{0 - 12} = \frac{9}{-12} = -\frac{3}{4}$$

Agora usamos a forma geral da equação da reta:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Usando o ponto $A(12, 0)$:

$$y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 12) \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x + 9$$

Multiplicando por 4 para eliminar o denominador:

$$4y = -3x + 36 \Rightarrow 3x + 4y - 36 = 0$$

Passo 2: Usar a fórmula da distância ponto–reta

A fórmula da distância do ponto $P(x_0, y_0)$ à reta $Ax + By + C = 0$ é:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

No nosso caso:

• Ponto $P(3, 2)$
  

• Reta: $3x + 4y - 36 = 0$, ou seja, $A = 3$, $B = 4$, $C = -36$
  

Substituindo:

$$d=\frac{\mathrm{\mid }3(3)+4(2)-36\mathrm{\mid }}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\mathrm{\mid }9+8-36\mathrm{\mid }}{\sqrt{9+16}}=\frac{\mathrm{\mid }-19\mathrm{\mid }}{\sqrt{25}}=\frac{19}{5}=\mathrm{3,8}$$