(FUNCEPE) - QUESTÃO

Seja f uma função real dada pela lei 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝒂, sendo a uma constante real. Sabendo que 𝒇−𝟏(𝟔) = 𝟖, o valor de 𝒇(𝟒) é

Ⓐ −3.

Ⓑ −2.

Ⓒ 0.

Ⓓ 2.

Ⓔ 3.

A função dada é $f(x) = 2x + a$, com $a \in \mathbb{R}$.

Sabemos que $f^{-1}(6) = 8$, ou seja, o valor da função inversa em 6 é 8.

Passo 1: Expressar a função inversa $f^{-1}$.

Começamos com:

$$y = f(x) = 2x + a$$

Para achar $f^{-1}$, isolamos $x$ em função de $y$:

$$y = 2x + a \implies 2x = y - a \implies x = \frac{y - a}{2}$$

Logo:

$$f^{-1}(y) = \frac{y - a}{2}$$

Passo 2: Usar a condição $f^{-1}(6) = 8$

Substituindo $y = 6$:

$$f^{-1}(6) = \frac{6 - a}{2} = 8$$

Multiplicando ambos os lados por 2:

$$6 - a = 16 \implies -a = 10 \implies a = -10$$

Passo 3: Calcular $f(4)$

Com $a = -10$:

$$f(4)=2\times 4+(-10)=8-10=-2$$