Equação do 2º grau - Resumo

Toda equação que pode ser representada sob a forma:

ax² + bx + c = 0 

em que a, b e c são números reais, com a ≠ 0, é chamada de equação polinomial do 2º grau na incógnita x.

Se b = 0 ou c = 0, tem-se uma equação polinomial do 2º grau incompleta.

Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida pela fórmula a seguir,

x = (- b ± √∆)/2a, em que ∆² = b² - 4ac

O valor de ∆ (lê-se "delta") é chamado discriminante da equação. Se:

∆  < 0 ⇒ a equação não possui raízes reais;

∆  = 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais iguais

∆  > 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais diferentes

Se x' e x" são as raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, então a soma (S) e o produto (P) dessas raízes são:

S = x' + x" = - b/a e P = x'.x" = c/a

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

01. (ESA) - As raízes da equação x² – 8x – 20 = 0 são:

a) 10 e –2

b) –10 e 2

c) –10 e –2

d) 10 e 2

e) 1 e - 2

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Resolução:
Da equação temos:
a = 1
b = - 8
c = - 20

Calculando ∆² = b² - 4ac temos:
∆ = (-8)² - 4.1.(-20)
∆ = 64 + 80
∆ = 144
√∆ = 12

Calculando x' e x"
x = (- b ± √∆)/2a ⇒ x = (8 ± 12)/2.1
x' = (8 + 12)/2 = 10
x" = (8 - 12)/2 = - 2

S = {- 2, 10}

Resposta: A
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02. (ESA) -  A função x² – 6x + 8 tem para valor do  (discriminante):

a) –2
b) 2
c) –4
d) 3
e) 4

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Resolução:
Dados: a = 1, b = - 6 e c = 8
Calculando o valor de ∆² = b² - 4ac temos:
∆² = (-6)² - 4.1.8
∆² = 36 - 32
∆² = 4
∆ = √4 = 2

Resposta: B
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03. (ESA) -  A soma das raízes da equação 2x² –3x + 1 = 0 é:

a) - 5/2
b) 5/2
c) 3/2
d) 2/3
e) - 2/3

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Resolução:
Dados: a = 2, b = - 3 e c = 1
S = - b/a
S = - (-3)/2
S = 3/2

Resposta: C
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04. (ESA) -  Para que a equação 3x² – 2x + 2m = 0 admita uma raiz igual a 2, o valor de m é:

a) 2
b) –4
c) 4
d) -2
e) 1

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Resolução:
Sendo 2 a raiz da equação ⇒ x = 2
Logo:
3x² – 2x + 2m = 0 ⇒ 3.(2)² - 2(2) + 2m = 0
3.4 - 4 + 2m = 0
12 - 4 + 2m = 0
2m = - 8
m = - 4

Resposta: B
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05. (ESA) - Na equação x² – 14x + m = 0, para que as raízes sejam reais e iguais, devemos Ter:

a) m > 49
b) m = 14
c) m = 49
d) m < 49
e) m ≥ 49

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Resolução:
∆  = 0 ⇒ a equação possui duas raízes reais iguais, logo:
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-14)² - 4.1.m 
∆ = 196 - 4m
196 - 4m = 0
- 4m = 196
m = - 196/4
m = 49

Resposta: C
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06. (ESA) - O menor valor inteiro de a, para que a equação y² – (2a – 5)y + a² = 0, não admita raízes reais, é:

a) - 5/4
b) 5/4
c) 1
d) 2
e) 1,2

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Resolução:

Dados da equação:
a = 1
b = (-2a + 5)
c = a²

∆  < 0 ⇒  a equação não possui raízes reais;
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-2a + 5)² - 4.1.a²
∆ = 4a² - 20a + 25 - 4a²
∆ = - 20a + 25

Fazendo ∆  < 0, temos:
- 20a + 25 < 0
- 20a < - 25 (-1)
20a > 25
a > 5/4 > 1,25

Resposta: D

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