(CA ESA 2024 AOS CFGS 2025 – 26) - QUESTÃO

Observe o polinômio abaixo:

𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)^𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)ⁿ

Qual o valor do número natural 𝑛 para que a soma dos coeficientes do polinômio acima seja 729?

Ⓐ 1

Ⓑ 2

Ⓒ 4

Ⓓ 5

Ⓔ 7

Dados: 𝑝(𝑥) = (𝑥³ + 2𝑥² + 3𝑥 − 3)^𝑛² ∙ (𝑥² + 𝑥 + 1)ⁿ

Para calcular a soma dos coeficientes do polinômio dado basta substituir os valores acompanhados de x por 1.

Então fica assim: 𝑝(1) = (1³ + 2.1² + 3.1 − 3)^𝑛² ∙ (1² + 1 + 1)ⁿ

Somando temos: 

𝑝(1) = (1 + 2 + 3 − 3)^𝑛² ∙ (1 + 1 + 1)ⁿ

𝑝(1) = (3)^𝑛² ∙ (3)ⁿ

Dado que (3)^𝑛² ∙ (3)ⁿ = 729 ⇒ 3^{𝑛² + n} = 3⁶ ⇒ n² + n = 6 ⇒ n² + n - 6 = 0

Calculando as raízes de n² + n - 6 = 0 temos:

n' = - 3 e n" = 2

Assim, o valor do número natural 𝑛 = 2