(FGV) - QUESTÃO

Os números A e B são, respectivamente, o décimo e o décimo primeiro elementos de uma progressão aritmética. A é o maior número natural formado por algarismos distintos, menor que 400 e múltiplo de 3. B é o menor número natural par, maior que 400.

Essa progressão aritmética é

Ⓐ crescente e a razão é igual a 4.

Ⓑ decrescente e o décimo segundo termo é 408.

Ⓒ crescente e o vigésimo termo é 792.

Ⓓ decrescente e o nono termo é 392.

Ⓔ crescente, a razão é igual a 6 e o décimo quinto termo é 426.

Resolvendo a questão temos:

1) Determinar A e B

• A: décimo termo da PA.
  Condições:

1. Maior número natural com algarismos distintos, menor que 400.

2. Múltiplo de 3.

Vamos analisar:

• Números < 400 com algarismos distintos: 399, 398, 397, …, 321, 312, …

• Múltiplos de 3: regra → soma dos algarismos múltiplo de 3.

Vamos testar os maiores números < 400 com algarismos distintos:

• 399 → dígitos repetidos → não serve.

• 398 → 3+9+8=20 → não múltiplo de 3

• 397 → 3+9+7=19 → não

• 396 → 3+9+6=18 → múltiplo de 3 e dígitos distintos 

Logo, A = 396

• B: décimo primeiro termo da PA.
  Condições:

1. Menor número par maior que 400 → B = 402

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2) Determinar a razão da PA

• PA: $a_{10} = A = 396$
  

• $a_{11} = B = 402$
  

Fórmula da PA: $a_{n+1} - a_n = r$ → $r=a_{11}-a_{10}=402-396=6$

A razão da PA é r = 6

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3) Verificar o tipo e outros termos

• Como a razão é positiva, a PA é crescente.

• Décimo quinto termo:

$$a_{15} = a_{10} + 5 \cdot r = 396 + 5 \cdot 6 = 396 + 30 = 426$$

Tudo confere com a opção: Ⓔ crescente, a razão é igual a 6 e o décimo quinto termo é 426.