(FCM - CEFETMINAS 2023) - QUESTÃO

Uma empresa possui dez funcionários, entre eles Carlos e Beatriz, e precisa selecionar uma comissão com quatro desses funcionários para viajarem a uma feira de negócios. Entretanto, é necessário que ao menos um deles, Carlos ou Beatriz, fique na empresa e, assim, não sejam escolhidos juntos para essa viagem. Desse modo, considerando-se essa situação, o número de comissões diferentes com seus funcionários que a empresa pode organizar para ir à feira de negócios é

Ⓐ 45.

Ⓑ 112.

Ⓒ 165.

Ⓓ 182.

Ⓔ 210.

Segundo o problema dado, é necessário que ao menos Carlos ou Beatriz, fique na empresa e, assim, não sejam escolhidos juntos para essa viagem.

Mas também, Carlos, Beatriz ou os dois (Carlos e Beatriz) podem ficar na empresa.

Se os dois ficarem na empresa, teremos que escolher 4 pessoas de um total de 10 − 2 = 8 funcionários para formar a comissão de viagem.

Para sabermos o número de comissões que podemos formar com os dois ficando na empresa, vamos fazer uma combinação de 8 elementos tomados 4 a 4.

C8,4 = 8!/4!(8 - 4)! ⇒ 8.7.6.5.4!/4!.4! ⇒ 8.7.6.5.4/4.3.2.1

C8,4 = 1680/24 ⇒ 70 comissões

Caso Carlos fique na empresa, um lugar na comissão já é de Beatriz. E, teremos que escolher mais 3 pessoas de um total de 10 − 2 = 8 funcionários para completar a comissão de viagem

Para sabermos o número de comissões que podemos formar com somente Carlos ficando na empresa, vamos fazer uma combinação de 8 elementos tomados 3 a 3.

C8,3 = 8!/3!(8 - 3)! ⇒ 8.7.6.5!/3!.5! ⇒ 8.7.6/3.2.1

C8,4 = 336/6 ⇒ 56 comissões.

Caso Beatriz fique na empresa, também poderão ser formadas outras 56 comissões.

Somando as diferentes formas de montar essa comissão, temos: 70 + 56 + 56 = 182 comissões.