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(ESA/CFS 2020-21) - QUESTÃO

Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m². Sabe-se o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O pertence a BC. Nessas condições, a área, em m², do triângulo ABC mede: 

a) (7√3 + 6)/4
b) (7√3 + 6)/2
c) (7√3 + 12)/4
d) (21√3 + 18)/2
e) (21√3 + 36)/4


Resposta comentada: C

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8 comentários:

  1. Gabriela15 de setembro de 2020 às 11:13

    Eu achei o lado do quadrado através da fórmula (a=L.L) e depois achei o lado de um triângulo pequeno através da tangente (já que é um triangulo equilátero o ângulo é 60 graus) e descobri que o lado dos triângulos pequenos são 1. Depois somei o lado desses dois Triângulos e o lado do quadrado e assim, achei o lado do triangulo grande, q é oq precisávamos. Depois só substitui na fórmula e achei a área, bem mais simples! :)

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    1. joaojogos#fe#lucros#frefire#yt27 de setembro de 2020 às 11:08

      Sim, realmente desta forma é bem mais fácil, mas há varias maneiras de realizar esses exercícios que requerem um pouco de criatividade e conhecimento da matéria, a banca da ESA gosta desses tipos de exercícios.

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  2. Unknown10 de outubro de 2020 às 08:13

    não entendi o x/l=xV3/2 / xV3/2-l V= raiz quadrada

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    1. Antonio Bazelatti3 de maio de 2022 às 14:57

      Essa é a fórmula da altura do triângulo equilátero . H = lado . Raiz de 3 / 2

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  3. Anônimo30 de junho de 2023 às 16:43

    meu gabarito não bateu e queria saber onde errei, peguei os triangulos que estão junto a base e usei o fato de ser um triangulo 30,60,90; achei que a hipotenusa do triangulo BPO como 2 e a base desse triangulo como 1, já no triangulo APM descobri que era um equilátero, então como a base PM era √ 3 os lados do triangulo de cima também seriam √ 3, e o lado do triangulo ABC seria 2+√ 3, tracei a altura do triangulo APM e descobri que era 3 também usando o esquema do triangulo 30,60,90; e obtive altura de 3+√ 3, jogando na fórmula o resultado final ficou (9+5√ 3)/2, poderia me iluminar sobre o erro? Fiquei uns 5 minutos quebrando a cabeça e achei que tinha descoberto o mundo quando fiz isso kkkkkkkk

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    1. biavaschi9 de setembro de 2024 às 08:26

      Veja bem, primeiro calculamos a medida dos lados do quadrado:
      L²=3 > L=√3

      Agora, observa-se que o triângulo BPO e o triângulo BAC são semelhantes, pois ambos são equiláteros e possuem todos os ângulos equivalentes a 60°. Logo torna-se evidente que a medida dos lados do triângulo BPO é √3.
      Então calculamos a altura h de BPO, para isso, é preciso utilizar trigonometria, onde chegamos a uma altura h de 3/2:
      co=cateto oposto (altura h)
      Sen60°=co/H √3/2=co/√3 co=3/2 H=hipotenusa (lado l)

      Sabemos que o mesmo segmento da altura de BPO pertence também a BAC, fica trivial que a altura H de BAC é 3/2 +√3.

      Como BPO e BAC são semelhantes, podemos montar uma regra de 3 com as informações que temos:
      l h √3 3/2 3/2L=√3 (3/2 +√3) l=lado do triângulo menor(BPO)
      L H L 3/2+√3 3/2L=3√3/2 +3 L=lado do triângulo maior(BAC)
      3L=3√3 +6 h=altura do triângulo menor(BPO)
      L=√3 +2 H=altura do triângulo maior(BAC)

      Agora substituímos na fórmula:
      b h / 2=A
      (√3+2)(3/2+√3)= 2A (multiplicamos ambos os lados por 2 e substituímos os valores)
      3√3/2+3+3+2√3= 2A (multiplicação distributiva)
      6+3√3/2+2√3= 2A (juntamos os termos semelhantes)
      12+3√3+4√3= 4A (multiplicamos ambos os lados por 2 novamente)
      12+√3(3+4)= 4A (√3 é posto em evidência)
      12+7√3= 4A (são feitas as operações possíveis)
      12+7√3/4= A (divide-se ambos os lados por 4)

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  4. Zé da manga24 de julho de 2023 às 12:27

    Este comentário foi removido pelo autor.

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