(ESA/CFS 2011-12) - QUESTÃO

Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se afirmar que x é um número: 

a) Irracional. 

b) Divisor de 8. 

c) Múltiplo de 3. 

d) Menor que 1. 

e) Maior que 4

Temos a seguinte informação do problema:

Aumentando-se um número $x$ em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades.

Isso nos dá a seguinte equação:

$$\log_4(x + 75) = \log_4(x) + 2$$

1) Usar a propriedade dos logaritmos

Sabemos que:

$$\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(ac) \quad \text{e} \quad \log_b(a^n) = n \log_b(a) \quad \text{e} \quad \log_b(a) + n = \log_b(a \cdot b^n)$$

Aplicando isso:

$$\log_4(x + 75) = \log_4(x) + 2 = \log_4(x \cdot 4^2) = \log_4(16x)$$

Logo:

$$\log_4(x + 75) = \log_4(16x)$$

Se os logaritmos são iguais, os argumentos também são:

$$x + 75 = 16x$$

2) Resolver a equação

$$x + 75 = 16x \Rightarrow 75 = 15x \Rightarrow x = \frac{75}{15} = 5$$

3) Classificar o número $x = 5$

Vamos analisar as alternativas:

a) Irracional → Falso, 5 é racional.
b) Divisor de 8 → Falso, 5 não divide 8.
c) Múltiplo de 3 → Falso, 5 não é múltiplo de 3.
d) Menor que 1 → Falso, 5 > 1.
e) Maior que 4 → Verdadeiro, 5 é maior que 4.