(FUVEST) - QUESTÃO

As três raízes de 9x³ − 31 x − 10 = 0 são p, q e 2. O valor de p² + q² é:

Ⓐ 5/9

​Ⓑ 26/9

Ⓒ 20/9

Ⓓ 10/9

Ⓔ 31/9

Resolvendo a questão dada temos:

A equação é:

$$9x^3 - 31x - 10 = 0$$

e sabemos que as raízes são $p$, $q$ e $2$. Queremos $p^2 + q^2$.

1) Usando a soma das raízes e produto das raízes

Para um cúbico $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ com raízes $r_1, r_2, r_3$:

• $r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}$

• $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{a}$

• $r_1r_2r_3 = -\frac{d}{a}$

Aqui, $a = 9, b = 0, c = -31, d = -10$. Então:

1. $p + q + 2 = -\frac{0}{9} = 0 \implies p + q = -2$
   

2. $pq+p\cdot 2+q\cdot 2=\frac{-31}{9}⟹pq+2(p+q)=-31\mathrm{/}9$

Substituindo $p+q = -2$:

$$pq + 2(-2) = -31/9 \implies pq - 4 = -31/9 \implies pq = -31/9 + 36/9 = 5/9$$

2) Calculando $p^2 + q^2$

$$p^2+q^2=(p+q{)}^2-2pq=(-2{)}^2-2\cdot \frac{5}{9}=4-\frac{10}{9}=\frac{36-10}{9}=\frac{26}{\mathrm{9<span\; style="font-family:\; Cambria;\; font-size:\; 17.6px;"></span>}}$$