(ComDN/MB) - QUESTÃO

Sejam o número real x e i a unidade imaginária. O produto dos valores de x que tona a igualdade ∣7 − xi + 4i∣ = 8 verdadeira é igual a:

Ⓐ −1

Ⓑ 0

Ⓒ 1

Ⓓ 15

Ⓔ 16

Vamos resolver passo a passo. A equação dada é:

$$|7 - x i + 4 i| = 8$$

Primeiro, podemos combinar os termos imaginários:

$$7 + (-x + 4)i$$

Então o número complexo é:

$$z = 7 + (4 - x)i$$

O módulo de $z$ é:

$$|z| = \sqrt{7^2 + (4 - x)^2} = 8$$

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:

$$7^2 + (4 - x)^2 = 8^2$$
$$49 + (4 - x)^2 = 64$$
$$(4 - x)^2 = 64 - 49$$
$$(4 - x)^2 = 15$$
$$4 - x = \pm \sqrt{15}$$
$$x = 4 \mp \sqrt{15}$$

Portanto, os valores de $x$ que satisfazem a equação são:

$$x_1 = 4 + \sqrt{15}, \quad x_2 = 4 - \sqrt{15}$$

O produto desses valores é:

$$x_1\cdot x_2=(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})=4^2-(\sqrt{15}{)}^2=16-15=1$$