(VPNE CFGS/ESA) - QUESTÃO

Qual é o termo médio (ou central) no desenvolvimento de (x – 3)⁶?

Ⓐ –517x³

Ⓑ 319x²

Ⓒ 521x²

Ⓓ 230x³

Ⓔ –540x³

O termo médio (ou central) em um desenvolvimento binomial depende do valor de $n$.

O desenvolvimento é $(x - 3)^6$.
Aqui temos $n = 6$.

• O número de termos é $n+1 = 7$.

• Como $7$ é ímpar, existe um termo central único, que é o 4º termo.

1) Fórmula geral do termo

O termo geral no desenvolvimento de $(a+b)^n$ é:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

No caso:

• $a = x$,

• $b = -3$,

• $n = 6$.

Então:

$$T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{6-k} (-3)^k$$

2) Identificar o termo central

Como há 7 termos, o termo central é o 4º termo, isto é, $k = 3$.

$$T_4 = \binom{6}{3} x^{6-3} (-3)^3$$

3) Cálculo

• $\binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3! \, 3!} = 20$.

• $x^{6-3} = x^3$.

• $(-3)^3 = -27$.

Portanto:

$$T_4=20\cdot x^3\cdot (-27)=-540x^3$$